*Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒ NC = NE     (16)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

Xét 2 tam giác vuôngΔBHM và ΔCKM có:

Góc M1 = M2 ( đối đỉnh)

BM = CM (gt)

⇒ ΔBHM = ΔCKM ( cạnh huyền góc nhọn)

⇒ BH = CK ( 2 cạnh tương ứng)

Vì góc H = M :

⇒ BH // CK ( so le trong)

a) Xét \(\Delta BMH,\Delta CMK\) có:

\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90^{^O}\right)\)

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\)(đối đỉnh)

=> \(\Delta BMH=\Delta CMK\) (cạnh huyền - góc nhọn) (*)

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(BH//CK\)

Từ (*) suy ra : \(BH=CK\)( 2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta BKM,\Delta CHM\) có :

\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMK}=\widehat{CMH}\) (đối đỉnh)

\(HM=MK\) [suy ra từ (*)]

=> \(\Delta BKM=\Delta CHM\left(c.g.c\right)\) (**)

=> \(\widehat{KBM}=\widehat{HCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí so le trong

=> \(BK//CH\left(đpcm\right)\)

Từ (**) suy ra : \(BK=CH\) (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có : \(BK=CH\) (chứng minh trên -câub)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}CH=HF+FC\left(\text{F là trung điểm của CH}\right)\\BK=BE+EK\left(\text{E là trung điểm của BK}\right)\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(HF=FC=BE=EK\)

Xét \(\Delta HMF,\Delta KME\) có :

\(HF=EK\left(cmt\right)\)

\(\widehat{HMF}=\widehat{KME}\) (đối đỉnh)

\(HM=MK\) [từ (*)]

=> \(\Delta HMF=\Delta KME\left(c.g.c\right)\)

=> \(EM=FM\) (2 cạnh tương ứng)

=> M là trung điểm của EF

Do đó : E, M, F thẳng hàng

=> đpcm

à thanks mình xin lỗi nhé ! 

a, Xét tam giác HAC và tam giác ABC ta có 

^AHC = ^BAC = 90⁰

^C _ chung 

Vậy tam giác HAC ~ tam giác ABC ( g.g ) (1) 

\(\Rightarrow\frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC}\) ( tí số đồng dạng ) (3) 

Xét tam giác HAB và tam giác ABC ta có : 

^AHB = ^BAC = 90⁰

^B _ chung 

Vậy tam giác HAB ~ tam giác ABC ( g.g ) (2)

Từ (1) ; (2) suy ra : tam giác HAC ~ tam giác HAB 

b, Từ (3) ta có : \(\frac{HA}{15}=\frac{20}{25}\)( BC = 25 cm theo Py ta go )

\(\Rightarrow HA=\frac{15.20}{25}=12\)cm 

Kéo dài MN, cắt AC tại I. Do đó N là giao điểm của MI và AH (vì \(N\in AH\)) và \(I\in AC\)

Xét \(\Delta HAB\)có:

\(MB=MH\)(giả thiết).

\(NA=NH\)(giả thiết).

\(\Rightarrow MN\)là đường trung bình của \(\Delta HAB\).

\(\Rightarrow MN//AB\)(tính chất).

\(\Rightarrow MI//AB\).

Mà \(AB\perp AC\)(vì \(\Delta ABC\)vuông tại A).

\(\Rightarrow MI\perp AC\)

Xét \(\Delta MAC\)có:

\(MI\perp AC\left(I\in AC\right)\)(chứng minh trên).

\(AH\perp MC\)(vì \(AH\perp BC\)).

Và N la giao điểm của MI và AH.

\(\Rightarrow N\)là trực tâm của \(\Delta MAC\)

\(\Rightarrow CN\perp AM\)(điều phải chứng minh).

anh đây đẹp troai, chim dài mét hai !

a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 
AH^2=BH.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\left(cm\right)AH2=BH.HC=4.9=36⇒AH=6(cm).
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
\widehat{ODM}=\widehat{OHM}=90^oODM=OHM=90o
Suy ra $\Delta DMO=\Delta HMO$ (ch - cgv).
Vì vậy $DM=MH$. (1) 
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay \widehat{MDH}=\widehat{DHM}MDH=DHM.
Có \widehat{BDM}+\widehat{MDH}=90^o,\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^oBDM+MDH=90o,DBH+DHB=90o.
Suy ra \widehat{MDB}=\widehat{DBM}MDB=DBM. Vì vậy tam giác BDM cân tại M hay MB = MD.  (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = MH hay M là trung điểm của BH.
Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của CH.
c) Tứ giác EDMN là hình thang với đường cao DE, các đáy DM và EN.
DM = BH : 2 = 2(cm), EN = AH : 2 = 4,5(cm).
Diện tích hình thang EDMN là:
\dfrac{DE.\left(DM+EN\right)}{2}=\dfrac{6\left(2+4,5\right)}{2}=19,5\left(cm^2\right)2DE.(DM+EN)​=26(2+4,5)​=19,5(cm2)

a) Tứ giác AEHD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Vì vậy DE = AH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 
AH^2=BH.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\left(cm\right)AH2=BH.HC=4.9=36⇒AH=6(cm).
Vậy DE = AH = 6(cm).
b) Gọi O là giao điểm của AH và DE. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra OD = OH.
Xét tam giác DMO và tam giác HMO có:
MO chung
OD = OH
\widehat{ODM}=\widehat{OHM}=90^oODM=OHM=90o
Suy ra $\Delta DMO=\Delta HMO$ (ch - cgv).
Vì vậy $DM=MH$. (1) 
Từ đó suy ra tam giác MDH cân tại M hay \widehat{MDH}=\widehat{DHM}MDH=DHM.
Có \widehat{BDM}+\widehat{MDH}=90^o,\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^oBDM+MDH=90o,DBH+DHB=90o.
Suy ra \widehat{MDB}=\widehat{DBM}MDB=DBM. Vì vậy tam giác BDM cân tại M hay MB = MD.  (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = MH hay M là trung điểm của BH.
Chứng minh tương tự ta có N là trung điểm của CH.
c) Tứ giác EDMN là hình thang với đường cao DE, các đáy DM và EN.
DM = BH : 2 = 2(cm), EN = AH : 2 = 4,5(cm).
Diện tích hình thang EDMN là:
\dfrac{DE.\left(DM+EN\right)}{2}=\dfrac{6\left(2+4,5\right)}{2}=19,5\left(cm^2\right)2DE.(DM+EN)​=26(2+4,5)​=19,5(cm2).

Lời giải:
a)

Xét tam giác $HDC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $DH, DC$ nên $MN$ là đường trung bình ứng với cạnh $HC$ của tam giác $HDC$

$\Rightarrow MN\parallel HC\Rightarrow MN\parallel BC$

Mà $AH\perp BC$ nên $MN\perp AH$

b) Gọi $T$ là giao điểm $BD$ và $AM$

Vì $ABC$ là tam giác cân nên $\widehat{B}=\widehat{C}$

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle HCD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{HD}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{2BH}=\frac{HD}{2CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{BC}=\frac{HM}{CD}$

$\Leftrightarrow \frac{AH}{HM}=\frac{BC}{CD}$

Xét tam giác $AMH$ và $BDC$ có:

$\frac{AH}{HM}=\frac{BC}{CD}$ (cmt)

$\widehat{AHM}=\widehat{BCD}(=90^0-\widehat{HAC})$

$\Rightarrow \triangle AMH\sim \triangle BDC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{DBC}$

$\Leftrightarrow \widehat{TAE}=\widehat{EBH}$

$\Rightarrow \widehat{ATE}=\widehat{EHB}=90^0$

$\Rightarrow AM\perp BD$

Hình vẽ: